segunda-feira, 30 de maio de 2011

As três categorias de Porquês

AS três categorias de Porquês:
a. Os porquês cronológicos: são aqueles explicações cuja ligitimidade não poderia ser caracterizada como uma necessidade de natureza lógica.
*por que uma circunferência possui 360º?
*por que há 60 segundos em um minuto?
*por que o zero se chama zero ou o seno se chama seno?

b. Os proquês lógicos d
seriam aquelas explicações cuja aceitação se basearia na decorrência lógica de proposições previamente aceitas ou no desejo de compatibilixsç~so lógica de duas ou mais afirmações não necessariamente compativeis.
*por que o produto dos números negativos é um número positivo?
*por que a raiz quadrada de 2 é igual a dois elevado ao expoente meio?

c. Por que pedagógicos seriam aqueles procedimentos operacionais que geralmente utilizamos em aula e que se justificam mais por razões de ordem pedagógtica do que históricas ou lógica.
*por que você ensina extrair o maior divisor comum entre dois números pelo método das subtrações sucessivas e não pelo da decomposição simultânea ou outro qualquer?

Keiji Nakamura - Professor de Prática de Ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira.

domingo, 29 de maio de 2011

LIMITES

Afinal para serve os limites?
1. Limite serve para melhor representar a construção do gráfico de uma função e sua monoticidade, limitada ou não, etc

2. Limite serve também para a construção e na leitura do número: como exemplo e=2,72(aproximadamente), fi=1,618 aproximadamente, 0,999...= 1, etc;

3. Limite também serve para conceituar a probabilidade e a curva de Gauss da Estatística.

4. Limite serve também para diferenciar entre o valor numérico com vizinhança ou entorno.

5. Limite serve também para classificar as seqüências de convergente ou divergente alem disso a teoria de CAOS.

6. Limite serve para conceituar (definição de) a DERIVADA e da INTEGRAL.
etc

7. A descrição, procedimentos e análise gráfica.
Keiji Nakamura professor de Prática de Ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira.

GIUSEPPE PEANO

O matemático italiano (a858-1932) também deixou contribuições à noção de número, que a nosso ver, podem ter influenciado na elaboração final do conceito de função. Peano fez uma escolha feliz para vários símbolos matemáticos que utilizamos ainda hoje, como exemplo: pertence, união, intersecção, está contido etc. Porém, sua maior contribuição talvez esteja nos três conceitos primitivos que estabeleceu em seus fundamentos de aritmética: O ZERO, OS CONCEITO DE NÚMERO INTEIRO NÃO-NEGATIVO e a relação de ser sucessor de, os quais, junto com seus cinco postulados, forneceram uma construção rigorosa do conjunto dos números naturais.
Keiji Nakamura - professor de Prática de Ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira.

OS PARADOXOS NA CONSTRUÇÃO DA MATEMÁTICA

Um paradoxo é uma afirmação que não nos parece contraditório em si mesma, mas que contraria fatos ou presupostos tidos como verdadeiros. Em ciência, quando se enuncia um paradoxo tem-se que algo não está sendo compreendido ou suficientemente explicado pelos conhecimentos já existentes. A ciência, em especial a Matemática, se alimenta substantcialmente todas as vezes que um paradoxo é comunicado. Isso se dá, porque logo em seguida à provisória crise que se instala, segue-se uma incessante busca de explicação, gerando assim novos conceitos e propriedades importantes que vão enriquecendo a ciência. Nesse processo, pode-se também observar, a evolução do senso comum para o que podemos chamar de senso científico. Para explicar e compreender melhor o exposto acima vamos falar sobre três paradoxos, acontecidos em momentos diferentes, que ficaram marcados fortemente na história da Matemática. Esse paradoxos sao atribuídos respectivamente a:
a. Paradoxo de Zenão;A corrida de Aquiles e a tartaruga.
b. Paradoxo de Bolzano ou de Cantor;Um conjunto pode ter o mesmo número de elementos que um seu subconjunto próprio?
c. Paradoxo de Russel. Existe o conjunto de todos os conjuntos? Um conjunto é sempre determinado por uma propriedade?

QUADRATURA DO CÍRCULO

A quadratura do círculo significa construir um quadrado cuja área seja igual à de um círculo dado ou, de modo equvalente, construir um círculo de área igual à de um quadrado dado. Essa construção consiste em usar somente apenas uma régua não graduada e um compasso. Isso equivale a construir o lado de um quadrado de medida x, com x^2=(pi).r^2. Em particular, fazendo r=1 teríamos x^2=pi. Com a hipótese possível de construir um segmento de medida x= Raiz Quadrada de pi, seria possível construir o segmento de medida pi. Mas pi é um número transcendente. Portanto, é impossível essa construção exata ela será sempre solução inexata ou aproximada.
Em 1844, Liouville demonstrou que existe um número que não é raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais, ou seja, que eixste um número transcendente sobre Q. Esse número é chamado de número Louville. Em 1992 Lindemann provou que pi é transcendente.

Keiji Nakamura - Professor de Prática de ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira. 19/05/2011

FANTASIA MATEMÁTICA

O Grande Hotal Georg Cantor tinha uma infinidade de quartos numerados consecutivamente, um ara cada número natural. Todos eram igualmente confortáveis. Num fin-de-semana prolongado, o hotel estava com seus quartos todos ocupados, quando chega um viajante. A recepcionista vai logo dizendo:
-Sinto muito, mas não há vagas.
Ouvindo isto, Georg Cantor interveio:
-Podemos abrigar o cavalheiro, sim senhora.
E ordena:
-Transfira o hóspede do quarto 0 para o quarto 1, passe o do quarto 1 para o quarto dois e assim por diante. Quem estive no quarto n-1, muda para o quarto n. Isto manterá todos alojados e deixará disponível o quarto 0 para o recém-chegado.
Logo depois chegou um ônibus com 30 passageiros, todos querendo hospedagem. A recepcionista, tendo aprendido a lição, removeu o hóspede de cada quarto n para o quarto n+30 e acolheu assim todos os passageiros do ônibus. Mas ficou sem saber o que fazer quando, horas depois, chegou um três com uma infinidade de passageiros. Desesperada, apelou para o Cantor que prontamente resolveu o problema dizendo: - Passe cada hóspede do quarto n para o quarto 2n. Isto deixará vagos os apartamentos de número ímpar, nos quais poremos os novos hóspedes. - Pensando melhor, mude quem está no quarto n para o quarto 3n. Os novos hóspedes, ponha-os os quartos de número 3n+2. Deixaremos vagos os quartos de números 3n+1. Assim sobrarão ainda infinitos quartos vazios e eu poderei ter sossego por algum tempo.
Keiji Nakamura - Professor de Prática de Ensino FIVR.

O INFINITO E ALÉM DAS OUTRAS COISAS BELAS, APESAR DE PATOLÓGICA

Foi onde o grande matemático Georg Cantor , passou toda a sua vida adulta e ponde se tornou na primeira pessoa a entender realmente o significado do infinito e dar-lhe precisão matemática.
Georg Cantor é um de meus heróis, top 10, que faz parte da minha dissertação de mestrado, Isto porque, antes de Cantor nunca ninguém tinha realmente entendido o INFINITO, era um conceito complexo e traiçoeiro que parecia não levar a lado nenhum. Mas Cantor mostrou que o infinito podia ser perfeitamente compreensível, na verdade, não existia apenas um infinito, mas sim um número infinito de infinitos.
Primeiro Cantor pegou nos números 1, 2, 3, 4 e por aí fora. Depois pensou em compará-los com um conjunto muito menor, algo como, 10, 20, 30, 40,... O que ele mostrou foi que estes dois conjuntos infinitos de número têm realmente o mesmo tamanho, porque podemos emparelhá-los,
O com o 10,
0 2 com o 20,
O 3 com o 30,
E por aí fora... Ou seja, são infinitos do mesmo tamanho. Então, e as frações? Afinal de contas, há número infinito de frações ente qualquer um dos números inteiros. Então, certamente que o infinito das frações é muito maior do que o infinito dos números inteiros. Mas o que Cantor fez foi encontrar uma forma de emparelhar todos os números inteiros com um conjunto infinito de frações, e tê-lo da seguinte maneira. Começou por ordenar todas as frações numa grelha infinita. A primeira linha continha os números inteiros, as frações com o um como denominador, na segunda linha, surgiram as metades, frações com o dois como denominador e por aí fora. Cada fração aparece nesta matriz. Onde está o 2/3? Na segunda coluna, terceira linha. Agora imagine uma linha a ser pentear diagonalmente para trás e para frente, através das frações, ao distendermos esta linha podemos emparelhar todas as frações com um dos números inteiros, isto significa que as frações são do mesmo tipo de infinito, que dos números inteiros. Então, talvez todos os infinitos tenham o mesmo tamanho bem, é aqui que está a parte interessante, quando Cantor abordou todos os números decimais. E provou que eles têm um infinito maior, porque por muito que tentemos listas, todos os decimais infinitas, Cantor desenvolveu um argumento inteligente para nos, mostrar como construir um novo número decimal que faltava na nossa lista. Subitamente, a idéia de infinito torna-se evidente, existem infinitos diferentes, alguns maiores do que outros. É um momento realmente excitante, para mim, é como quando os primeiros humanos aprenderam a contar. Mas agora contamos de outra maneira, contamos infinitos. Abriu-se uma Porta que nos mostrou uma matemática inteiramente nova, mas isso não foi de grande ajuda do Georg Cantor.
Ele sofria de depressão “desordem Bipolar” uma das suas primeiras grandes crises foi em 1884. Mas por volta do virar do século, estas recaídas de sua doença mental tornam-se cada vez mais freqüentes. Muitas pessoas tentaram dizer a sua doença foi de certa forma desencadeada pela matemática incrivelmente abstrata com que lidava. Bem, não há dúvidas que tinha dificuldades... Devo dizer-lhe que quando começamos a contemplar o infinito, bem sinto que satisfeito com a base do infinito, mas conforme vai crescendo, tenho de lhe dizer, que começo a ficar desalentado pelo que está a acontecer e para onde vai. Durante grande parte da vida de Cantor, o único sítio para onde ia era este, o sanatório da universidade. Na altura não existia tratamento para a depressão desordem bipolar, nem para a paranóia que acompanhava freqüentemente os ataques de Cantor, ainda assim, a clínica era um bom sítio para se estar confortável, serena e pacífica, e,m muitas vezes, Cantor achava que o tempo que ia passando lhe fornecia a força mental para continuar a sua exploração do infinito. Outros matemáticos ficaram perturbados pelos paradoxos que o trabalho de Cantor criara, mas curiosamente, isto era algo que não preocupava Cantor. Ele nunca se angustiava com os paradoxos do infinito como as outras pessoas, porque Cantor acreditava que estar bem, existem certas coisas que conseguiu demonstrar. A matemática completa existe apenas em Deus. Ele conseguia entender tudo isto, e havia ainda o paradoxo final que não nos cabia a nos entender, mas apenas com Deus. Mas existia um problema que Cantor não conseguia deixar nas mãos do todo poderoso, um problema com o qual se debateu durante o resto de sua vida. Ficou conhecido como “Hipótese do contínuo”. Haverá algum infinito entre o infinito pequeno dos números inteiros e o infinito maior dos números decimais? Mas houve um matemática francês que o defendeu argumentando que a nova matemática do infinito de Cantor era bela, apesar de patológica.

Duplicação do Cubo

DUPLICAÇÃO DO CUBO

A duplicação do cubo não existe possibilidade de construir com régua e compasso. Por que:
I. Um número real diz-se algébrico, se ele é raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais. Caso contrário, dizemos que o número é transcendente.
II. Um número real diz-se algébrico de grau n se ele for raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais de grau n e não for raiz de nenhuma equação polinomial de coeficientes racionais de grau menor que n.
Agora, vamos mostrar que é algébrico de grau 3 sobre números racionais Q.
é algébrico, porque é raiz da equação polinomial: .
Se fosse raiz da equação ax+b=0 com coeficie3ntes racionais, teríamos a( ) _ b=0, onde .
Absurdo, pois o segundo membro é racional. Se fosse raiz da equação do segundo grau (1). Elevando ao quadrado os membros da igualdade:
( , obtém-se a (2). Multiplicando (1) por quadrado de b e (2) por menos a [-a] e adicionando membro a membro, chegamos a:
, um absurdo já que é irracional (observe que , pois caso contrário teríamos .absurdo, pois a e b são racionais). Portanto, é algébrico de grau 3 sobre Q.
O problema da duplicação do cubo consiste em construir a aresta de um cubo de volume igual ao dobro do volume de um cubo de aresta dada, utilizando apenas uma régua não graduada e um compasso. O problema pode ser colocado nos seguintes termos: dado um segmento de medida a, construir um segmento de medida x tal que . Vamos supor que seja possível construir com régua não graduada e compasso um segmento com medida x tal que . Em particular fazendo a=1 unidade teríamos a equação que cuja raiz é , que mostramos ser algébrico de grau 3 ( que não é potência de 2) e, portanto, o segmento de medida não pode ser construído. Logo, o problema da duplicação do cubo é impossível.