Prove que o número de Euler e é irracional

A prova será indireta:
Por Hipótese que “e” seja racional, isto é, e = onde a e b são inteiros, que seja uma fração irredutível, isto é, a e b sejam primos entre si. Usaremos, especificamente, o fato de que a e b são inteiros positivos e já que mostramos que 2 No lado esquerdo:
“e”. b! = ( .(1.2.3....b)=a.1.2.3.....(b-1).
Enquanto no lado direito:= b!(1+ ={b!+b!+[3.4.5...b]+[4.5.6...b]+[5.6.7...b]+...+
+(b-1).b+b+1]} +
No lado esquerdo: e.b!= (1.2.3...(b-1))=produto de números inteiros.
No lado direito: {b!+b!+[3.4.5...b]+[4.5.6...b]+[5.6.7...b]+...[(b-1).b]+[b+1]=
a soma dos produtos é também número inteiro}.
Mas, os termos remanescentes (aquilo que sobra) não são números inteiros porque cada denominador é pelo menos 3. A sua soma, também não é um número inteiro. Como b , temos: =
Logo: Agora chegamos a uma indicação favorável para a prova, que temos no lado esquerdo da equação um número inteiro e no lado direito não um número inteiro, obviamente uma contradição absurda que provem da hipótese feita inicialmente fosse número racional, que nos leva à conclusão de que não é possível escrever na forma com a e b números inteiros e, portanto “e” é número irracional.