sábado, 31 de dezembro de 2011
domingo, 18 de dezembro de 2011
Mensagem aos formandos/2011
Mensagem aos formandos de matemática/2011
Se a minha Mensagem fosse sorteada naquela noite de formatura entre os cursos de matemática, Administração de Empresas, Ciências Contábeis e Processos Gerenciais assim seria:
“Aos formandos pelo convite de Paraninfo do curso de Matemática, muito obrigado.
Ilmo. Sr. Diretor das Faculdades integradas do Vale do Ribeira, coordenadores e professores o meu muito obrigado pelo convite e pela participação desta solenidade de formatura.
Em 1900, o famoso matemático francês David Hilbert, fez um discurso na Sorbonne no qual apresentava os 23 problemas que iriam desafiar os matemáticos até o Século XXI. De todos eles, apenas um, o oitavo, chegou aos nossos dias, dia 14 de dezembro de 2011, sem solução: a Hipótese de Riemann. Assim, o mistério dos números primos, aqueles números que são diferentes dos outros, só é possível dividi-los por eles mesmos ou por um. Além disso, não há qualquer fórmula para descobrir os primos, parece que eles surgem aleatoriamente. Não há como dizer quando virão os próximos., assim passou a ser considerado o maior problema matemático de todos os tempos.
As décadas finais do Século XX, e este início de século XXI, têm sido marcados por progressos notáveis na solução de problemas matemáticos importantes, alguns dos quais estavam em aberto há séculos. Isto é especialmente verdadeiro no caso da teoria de números, a demonstração do “Último Teorema de Fermat” por Andrew Wiles, em 1995. Entretanto, a demonstração do resultado envolve uma seção transversal expressiva da matemática contemporânea, de modo que são pouco acessíveis aos matemáticos. Trocando em miúdo, a demonstração do Último Teorema de Fermat não dependeu do conhecimento do Cálculo Diferencial e Integral, mas sim do irrequieto Evariste Galois que passou à noite escrevendo os resultados de sua pesquisa, antes de morrer num duelo em 1832. No coração dos cálculos de Galois havia um conceito conhecido como teoria dos grupos, uma idéia que ele transformara em uma poderosa ferramenta, capaz de resolver problemas insolúveis. Matematicamente falando, um grupo é um conjunto de elementos que podem ser combinados usando-se algumas operações, tais como a adição ou a multiplicação, e que satisfazem certas condições. Uma propriedade definidora importante de um grupo é que, quando dois de seus elementos são combinados, usando a operação, o resultado é outro elemento do grupo. Diz-se que o grupo é fechado sob aquela operação interna. Os números inteiros e as frações formam grupos infinitamente grandes e pode-se presumir que, quanto maior o grupo, mais interessantes será a matemática que ele irá produzir. Contudo Galois tinha outra filosofia e demonstrou que grupos pequenos, cuidadosamente construídos, podiam exibir uma riqueza especial. No lugar de usar grupos infinitos, Galois começou com uma equação especial e construiu seu grupo a partir do punhado de soluções daquela equação, isto é, diz a respeito da solução de equações em estruturas algébricas. Foram os grupos formados pelas soluções da equação do quinto grau que permitiram a Galois derivar suas conclusões sobre estas equações. Um século e meio depois, A. Wiles usaria o trabalho de Galois como o alicerce para a sua demonstração derrubando o primeiro dominó.
Para estabelecer a idéia de unicidade, Kummer introduziu o chamado de IDEAIS. Generalizado, mais tarde por Dedekind este se tornou um dos conceitos fundamentais da álgebra moderna. Os métodos atualmente utilizados em álgebra surgiram originalmente de duas fontes: a teoria de ideais e a teoria de equações. Esta última estuda os métodos algébricos utilizados para resolver equações algébricas. O Norueguês N. H. Abel demonstrou que uma equação geral de grau maior ou igual a cinco não admite nenhuma fórmula do tipo desejado. Depois do estudo de anéis, ideais e polinômios que tem como objetivos de descrever uma versão do algoritmo AKS e provar detalhadamente que o algoritmo funciona corretamente sem ajuda de outras áreas dos conhecimentos matemáticos.
Embora Wiles tenha recorrido a métodos do Século XX para resolver o enigma do século XVII, Andrew Wiles demonstrou o “Último Teorema de Fermat.”
Agora, os cinco mensagens para ser um grande mestre em Matemática:
1. Prepare-se para estudar toda a vida.
2. Se você conseguir: “Despertar o matemático que está dormindo dentro de cada um de nós e que não teve a chance de acordar. Se despertar esse matemático que está dormindo, talvez pudesse ser um bom professor de matemática.
3. Devemos adquirir intimidade com novas tecnologias como a internet.
4. Lembre-se. Não basta ensinar é preciso comprometer com a aprendizagem dos alunos. É necessário que os alunos dominem os conhecimentos e saibam mobilizar-se em situações concretas.
5. Seja compreensível consigo mesmo, não mande o aluno plantar batata mas, ensine-o a plantar batata.
Obrigado pela atenção ao futuro professores de matemática. Thcau!
Professor Keiji Nakamura
Mensagem de Fim de Ano
Quem teve a idéia de cortar o tempo em fatias,
a que se deu o nome de ano, foi um indivíduo genial.
Industrializou a esperança, fazendo-a funcionar no limite da exaustão.
Doze meses dão para qualquer ser humano se cansar e entregar os pontos.
Aí entra o milagre da renovação e tudo começa outra vez,
com outro número e outra vontade de acreditar,
que daqui para diante vai ser diferente.
Carlos Drummond de Andrade
Se a minha Mensagem fosse sorteada naquela noite de formatura entre os cursos de matemática, Administração de Empresas, Ciências Contábeis e Processos Gerenciais assim seria:
“Aos formandos pelo convite de Paraninfo do curso de Matemática, muito obrigado.
Ilmo. Sr. Diretor das Faculdades integradas do Vale do Ribeira, coordenadores e professores o meu muito obrigado pelo convite e pela participação desta solenidade de formatura.
Em 1900, o famoso matemático francês David Hilbert, fez um discurso na Sorbonne no qual apresentava os 23 problemas que iriam desafiar os matemáticos até o Século XXI. De todos eles, apenas um, o oitavo, chegou aos nossos dias, dia 14 de dezembro de 2011, sem solução: a Hipótese de Riemann. Assim, o mistério dos números primos, aqueles números que são diferentes dos outros, só é possível dividi-los por eles mesmos ou por um. Além disso, não há qualquer fórmula para descobrir os primos, parece que eles surgem aleatoriamente. Não há como dizer quando virão os próximos., assim passou a ser considerado o maior problema matemático de todos os tempos.
As décadas finais do Século XX, e este início de século XXI, têm sido marcados por progressos notáveis na solução de problemas matemáticos importantes, alguns dos quais estavam em aberto há séculos. Isto é especialmente verdadeiro no caso da teoria de números, a demonstração do “Último Teorema de Fermat” por Andrew Wiles, em 1995. Entretanto, a demonstração do resultado envolve uma seção transversal expressiva da matemática contemporânea, de modo que são pouco acessíveis aos matemáticos. Trocando em miúdo, a demonstração do Último Teorema de Fermat não dependeu do conhecimento do Cálculo Diferencial e Integral, mas sim do irrequieto Evariste Galois que passou à noite escrevendo os resultados de sua pesquisa, antes de morrer num duelo em 1832. No coração dos cálculos de Galois havia um conceito conhecido como teoria dos grupos, uma idéia que ele transformara em uma poderosa ferramenta, capaz de resolver problemas insolúveis. Matematicamente falando, um grupo é um conjunto de elementos que podem ser combinados usando-se algumas operações, tais como a adição ou a multiplicação, e que satisfazem certas condições. Uma propriedade definidora importante de um grupo é que, quando dois de seus elementos são combinados, usando a operação, o resultado é outro elemento do grupo. Diz-se que o grupo é fechado sob aquela operação interna. Os números inteiros e as frações formam grupos infinitamente grandes e pode-se presumir que, quanto maior o grupo, mais interessantes será a matemática que ele irá produzir. Contudo Galois tinha outra filosofia e demonstrou que grupos pequenos, cuidadosamente construídos, podiam exibir uma riqueza especial. No lugar de usar grupos infinitos, Galois começou com uma equação especial e construiu seu grupo a partir do punhado de soluções daquela equação, isto é, diz a respeito da solução de equações em estruturas algébricas. Foram os grupos formados pelas soluções da equação do quinto grau que permitiram a Galois derivar suas conclusões sobre estas equações. Um século e meio depois, A. Wiles usaria o trabalho de Galois como o alicerce para a sua demonstração derrubando o primeiro dominó.
Para estabelecer a idéia de unicidade, Kummer introduziu o chamado de IDEAIS. Generalizado, mais tarde por Dedekind este se tornou um dos conceitos fundamentais da álgebra moderna. Os métodos atualmente utilizados em álgebra surgiram originalmente de duas fontes: a teoria de ideais e a teoria de equações. Esta última estuda os métodos algébricos utilizados para resolver equações algébricas. O Norueguês N. H. Abel demonstrou que uma equação geral de grau maior ou igual a cinco não admite nenhuma fórmula do tipo desejado. Depois do estudo de anéis, ideais e polinômios que tem como objetivos de descrever uma versão do algoritmo AKS e provar detalhadamente que o algoritmo funciona corretamente sem ajuda de outras áreas dos conhecimentos matemáticos.
Embora Wiles tenha recorrido a métodos do Século XX para resolver o enigma do século XVII, Andrew Wiles demonstrou o “Último Teorema de Fermat.”
Agora, os cinco mensagens para ser um grande mestre em Matemática:
1. Prepare-se para estudar toda a vida.
2. Se você conseguir: “Despertar o matemático que está dormindo dentro de cada um de nós e que não teve a chance de acordar. Se despertar esse matemático que está dormindo, talvez pudesse ser um bom professor de matemática.
3. Devemos adquirir intimidade com novas tecnologias como a internet.
4. Lembre-se. Não basta ensinar é preciso comprometer com a aprendizagem dos alunos. É necessário que os alunos dominem os conhecimentos e saibam mobilizar-se em situações concretas.
5. Seja compreensível consigo mesmo, não mande o aluno plantar batata mas, ensine-o a plantar batata.
Obrigado pela atenção ao futuro professores de matemática. Thcau!
Professor Keiji Nakamura
Mensagem de Fim de Ano
Quem teve a idéia de cortar o tempo em fatias,
a que se deu o nome de ano, foi um indivíduo genial.
Industrializou a esperança, fazendo-a funcionar no limite da exaustão.
Doze meses dão para qualquer ser humano se cansar e entregar os pontos.
Aí entra o milagre da renovação e tudo começa outra vez,
com outro número e outra vontade de acreditar,
que daqui para diante vai ser diferente.
Carlos Drummond de Andrade
sábado, 17 de dezembro de 2011
sexta-feira, 16 de dezembro de 2011
quinta-feira, 15 de dezembro de 2011
quarta-feira, 14 de dezembro de 2011
terça-feira, 13 de dezembro de 2011
sexta-feira, 16 de setembro de 2011
sábado, 27 de agosto de 2011
Mentes brilhantes
GALILEU aplicou a matemática ao movimento.
NEWTON aperfeiçoou essas leis à experiência quotidiana.
EINSTEIN buscou uma teoria mais profunda, revelou as leis que governam todo o universo.
STEPHEN HAWSKING buscou a teoria de tudo unificando as equações de Einstein com a mecânica quântica para explicar a origem do universo.
NEWTON aperfeiçoou essas leis à experiência quotidiana.
EINSTEIN buscou uma teoria mais profunda, revelou as leis que governam todo o universo.
STEPHEN HAWSKING buscou a teoria de tudo unificando as equações de Einstein com a mecânica quântica para explicar a origem do universo.
sábado, 20 de agosto de 2011
Conjunto dos Números Reais é infinito?
Dizemos que Conjunto dos Números Reais é infinito porque alguns números têm sucessores.
Implicação lógica
P implica Q significa que A está contida em B ou melhor a inclusão entre conjuntos.
sexta-feira, 22 de julho de 2011
Nicolas Bourbaki
Nunca tínhamos ouvido falar do homem mais estranho da história da Matemática: Nícolas Bourbaki. Não existem fotos de Bourbaki, mas sabemos que nasceu neste bar café, no bairro latino, em 1934, quando este era um café capoulade e não restaurante de fast-food que é hoje. Um pouco mais abaixo, encontrei-me com o perito em Bourbaki, David Aubin. Devo dizer-lhe que quando estava na universidade, fiacava aterrorizado quando ia a biblioteca porque, este tal de Bourbaki tinha escrito tanto livros... Qualquer coisa como 30 ou 40 ao todo, sobre análise matemática, geometria e topologia, era tudo terreno novo. Praticamente todos aqueles que estudaram matemática a sério nos anos 50, 60 e 70 leram Nicolas Bourbaki.
Nícloas Bourbaki não existe nem nunca existiu. Bourbaki é de fato um pesudonimo de um grupo de matemáticos franceses liderado por André Weil, que decidiram escrever um relato coerente da matemática do século XX. Normalmente, os matemáticos gostam de ter os seus nomes nos teoremas, mas para o Grupo Bourbaki, os propositos do projeto eram mais importantes do que os desejos de glória pessoal. Depois da segunda guerra Mundial, o testemunho Bourbaki foi passado a geração seguinte dos matemáticos franceses. E o seu membro mais brilhante era Alexander Grothendieck.
Keiji Nakamura
Nícloas Bourbaki não existe nem nunca existiu. Bourbaki é de fato um pesudonimo de um grupo de matemáticos franceses liderado por André Weil, que decidiram escrever um relato coerente da matemática do século XX. Normalmente, os matemáticos gostam de ter os seus nomes nos teoremas, mas para o Grupo Bourbaki, os propositos do projeto eram mais importantes do que os desejos de glória pessoal. Depois da segunda guerra Mundial, o testemunho Bourbaki foi passado a geração seguinte dos matemáticos franceses. E o seu membro mais brilhante era Alexander Grothendieck.
Keiji Nakamura
Evariste Galois
Evariste Galois escreveu na noite do duelo por um amor frustado que a matemática naõ deveria ser o estudo dos números e das formas, mas sim o estudo das estruturas algébricas. Talvez ainda tivesse preocupado com a sua matemática mas, morreu com apenas um tiro no dia seguinte com a idade de 20 anos. Foi uma das maiores perdas da matemática no princípio do século XX e que Galois receberia o devido valor e as suas idéias seriam totalmente percebidas. Galois descobriu novas técnicas para conseguir determinar se equaçõtes têm soluções ou não. A simetria de certos objetos geométricos parecia ser a chave da matemática. A sua idéia de utilizar a geometria para analisar equações seria paroveitada nos anos 20, por outro matemático parisiense, André Weil. Weil comentou que era muito interessado e no que diz respeito a Escola era bom em todas as áreas. E era mesm0o, depois de ter estudado na Alemanha e na França, André assentou neste apartamento em Paris, que partilhava com a sua irmã famosa, a escritora Simone Weil.
Todos os presioneiros foram mortos. Weil passou apenas alguns meses na prisão, mas esse tempo foi crucial para a sua matemática, porque foi aqui que ele se apoiou nas idéias de Galois e desenvolveu, pela primeira vez a geometria algébrica, uma linguagem totalmente nova para perceber as soluções de equações. Galois mostrou como novas estruturas matemáticas podiam ser usadas pra revelar os segredos por detrás das equações.
O trabalho de Weil levou-o a teorema que interligavam a teoria dos números, álgebras, geometria e topologia, naquela que foi um dos grandes feitos da matemática moderna. E sem André Weil, nunca teríamos ouvido falar do homem mais estranho da história da Matemática: Nicolas Bourbaki.
Keiji Nakamura
Todos os presioneiros foram mortos. Weil passou apenas alguns meses na prisão, mas esse tempo foi crucial para a sua matemática, porque foi aqui que ele se apoiou nas idéias de Galois e desenvolveu, pela primeira vez a geometria algébrica, uma linguagem totalmente nova para perceber as soluções de equações. Galois mostrou como novas estruturas matemáticas podiam ser usadas pra revelar os segredos por detrás das equações.
O trabalho de Weil levou-o a teorema que interligavam a teoria dos números, álgebras, geometria e topologia, naquela que foi um dos grandes feitos da matemática moderna. E sem André Weil, nunca teríamos ouvido falar do homem mais estranho da história da Matemática: Nicolas Bourbaki.
Keiji Nakamura
segunda-feira, 18 de julho de 2011
quarta-feira, 13 de julho de 2011
Prove que o número de Euler e é irracional
A prova será indireta:
Por Hipótese que “e” seja racional, isto é, e = onde a e b são inteiros, que seja uma fração irredutível, isto é, a e b sejam primos entre si. Usaremos, especificamente, o fato de que a e b são inteiros positivos e já que mostramos que 2
“e”. b! = ( .(1.2.3....b)=a.1.2.3.....(b-1).
Enquanto no lado direito:= b!(1+ ={b!+b!+[3.4.5...b]+[4.5.6...b]+[5.6.7...b]+...+
+(b-1).b+b+1]} +
No lado esquerdo: e.b!= (1.2.3...(b-1))=produto de números inteiros.
No lado direito: {b!+b!+[3.4.5...b]+[4.5.6...b]+[5.6.7...b]+...[(b-1).b]+[b+1]=
a soma dos produtos é também número inteiro}.
Mas, os termos remanescentes (aquilo que sobra) não são números inteiros porque cada denominador é pelo menos 3. A sua soma, também não é um número inteiro. Como b , temos: =
Logo: Agora chegamos a uma indicação favorável para a prova, que temos no lado esquerdo da equação um número inteiro e no lado direito não um número inteiro, obviamente uma contradição absurda que provem da hipótese feita inicialmente fosse número racional, que nos leva à conclusão de que não é possível escrever na forma com a e b números inteiros e, portanto “e” é número irracional.
Por Hipótese que “e” seja racional, isto é, e = onde a e b são inteiros, que seja uma fração irredutível, isto é, a e b sejam primos entre si. Usaremos, especificamente, o fato de que a e b são inteiros positivos e já que mostramos que 2
“e”. b! = ( .(1.2.3....b)=a.1.2.3.....(b-1).
Enquanto no lado direito:= b!(1+ ={b!+b!+[3.4.5...b]+[4.5.6...b]+[5.6.7...b]+...+
+(b-1).b+b+1]} +
No lado esquerdo: e.b!= (1.2.3...(b-1))=produto de números inteiros.
No lado direito: {b!+b!+[3.4.5...b]+[4.5.6...b]+[5.6.7...b]+...[(b-1).b]+[b+1]=
a soma dos produtos é também número inteiro}.
Mas, os termos remanescentes (aquilo que sobra) não são números inteiros porque cada denominador é pelo menos 3. A sua soma, também não é um número inteiro. Como b , temos: =
Logo: Agora chegamos a uma indicação favorável para a prova, que temos no lado esquerdo da equação um número inteiro e no lado direito não um número inteiro, obviamente uma contradição absurda que provem da hipótese feita inicialmente fosse número racional, que nos leva à conclusão de que não é possível escrever na forma com a e b números inteiros e, portanto “e” é número irracional.
terça-feira, 21 de junho de 2011
domingo, 5 de junho de 2011
GAUSS
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) freqüentou uma Escola em que o Professor era tido como muito bravo e exigente.
Conta-se que, para manter a classe ocupada e em silêncio, certa vez ele mandou que os alunos somassem todos os números de um a cem. Gaus, que estava, na época, com aproximadamente oito anos, terminou imediatamente a atividade e foi o único aluno a acertar o resultado, cinco mil e cinqüenta, sem apresentar nenhum cálculo por escrito.
O professor bravo e meio desconfiado exigiu do aluno uma comprovação escrita no caderno. Gauss disse a ele que precisava fazer as continhas de uma em uma, até cem. Ele explicou como tinha feito com a atividade. Mentalmente enfileirou de 1 a 100 (1+2+3+...+98+99+100) e depois adicionou colocando a seqüencia de ordem decrescente (100+99+98+...+3+2+1) e depois agrupei de dois em dois (100+1) + (99+2) + (98+3) ++... (3+98)+(2+99)+(1+100), e assim temos 100 termos de 101, logo a soma será igual a 100x101 dividido por 2 e assim encontraremos o total de 5050. Professor foi assim que eu resolvi de forma rápida mentalmente.
Devido a seus trabalhos, Gauss foi considerado o maior matemático de sua época e talvez de todos os tempos.
Gauss não é considerado maior matemático de todos os tempos devido ao seu temperamento de arrogância que nunca dava explicações dos porquês e nem como que tinha feito as suas demonstrações matemáticas.
Keiji Nakamura Professor de Prática de Ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira/Registro(SP).
Conta-se que, para manter a classe ocupada e em silêncio, certa vez ele mandou que os alunos somassem todos os números de um a cem. Gaus, que estava, na época, com aproximadamente oito anos, terminou imediatamente a atividade e foi o único aluno a acertar o resultado, cinco mil e cinqüenta, sem apresentar nenhum cálculo por escrito.
O professor bravo e meio desconfiado exigiu do aluno uma comprovação escrita no caderno. Gauss disse a ele que precisava fazer as continhas de uma em uma, até cem. Ele explicou como tinha feito com a atividade. Mentalmente enfileirou de 1 a 100 (1+2+3+...+98+99+100) e depois adicionou colocando a seqüencia de ordem decrescente (100+99+98+...+3+2+1) e depois agrupei de dois em dois (100+1) + (99+2) + (98+3) ++... (3+98)+(2+99)+(1+100), e assim temos 100 termos de 101, logo a soma será igual a 100x101 dividido por 2 e assim encontraremos o total de 5050. Professor foi assim que eu resolvi de forma rápida mentalmente.
Devido a seus trabalhos, Gauss foi considerado o maior matemático de sua época e talvez de todos os tempos.
Gauss não é considerado maior matemático de todos os tempos devido ao seu temperamento de arrogância que nunca dava explicações dos porquês e nem como que tinha feito as suas demonstrações matemáticas.
Keiji Nakamura Professor de Prática de Ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira/Registro(SP).
sábado, 4 de junho de 2011
TETRACTYS
Conhecimentos sobre as civilizações antigas são obtidos por fragmentos de pairos dos egípcios e de tabletes de argila da Babilônia. Por esse motivo, fica difícil diferenciar, às vezes, das lendas e de fatos reais.
Baseando-se nos materiais encontrados, podemos dizer que Pitágoras nasceu em Samos, no Século VI a.C. Ele era matemático, filósofo, profeta e místico.
Fundou uma Escola Pitagórica em que o conhecimento era comum a todos.
O lmea da Escola Pitagórica, pelo que se diz, era TUDO É NÚMERO e seu símbolo todo especial, a estrela de cinco pontas.
Os pitagóricos levaram ao extremo sua adoração pelos números, chegando a basear neels sua filosofia e maneira de viver. Para os pitagóricos, cada número tinha um significado muito especial. Destacamos alguns:
1. gerador dos números ( número da razão );
2. primeiro número par ou primeiro número feminino;
3. primeiro número masculino verdadeiro;
5. número do casamento (união dos primeiros números fenino e masculino: 5=2+3);
6. número da criação.
10. tetractys( o mais sagrado: 10=1+2+3+4)
O número 10 (Tetractys era especial, uma vez que era o resultado da soma dos termos de uma sequência de quatro primeiros números, que pode ser representado graficamente por um triângulo equilátero, em que cada um de seus lados é formado por quatro pontos. No topo, a unidade divina o número um), abaixo dele o 2 (express~´oa do espírito), na terceira linha a alama (descrito pelo número 3) e na base o 4 ( expressão da matéria).
*
**
***
****
Keiji Nakamura
Baseando-se nos materiais encontrados, podemos dizer que Pitágoras nasceu em Samos, no Século VI a.C. Ele era matemático, filósofo, profeta e místico.
Fundou uma Escola Pitagórica em que o conhecimento era comum a todos.
O lmea da Escola Pitagórica, pelo que se diz, era TUDO É NÚMERO e seu símbolo todo especial, a estrela de cinco pontas.
Os pitagóricos levaram ao extremo sua adoração pelos números, chegando a basear neels sua filosofia e maneira de viver. Para os pitagóricos, cada número tinha um significado muito especial. Destacamos alguns:
1. gerador dos números ( número da razão );
2. primeiro número par ou primeiro número feminino;
3. primeiro número masculino verdadeiro;
5. número do casamento (união dos primeiros números fenino e masculino: 5=2+3);
6. número da criação.
10. tetractys( o mais sagrado: 10=1+2+3+4)
O número 10 (Tetractys era especial, uma vez que era o resultado da soma dos termos de uma sequência de quatro primeiros números, que pode ser representado graficamente por um triângulo equilátero, em que cada um de seus lados é formado por quatro pontos. No topo, a unidade divina o número um), abaixo dele o 2 (express~´oa do espírito), na terceira linha a alama (descrito pelo número 3) e na base o 4 ( expressão da matéria).
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Keiji Nakamura
segunda-feira, 30 de maio de 2011
As três categorias de Porquês
AS três categorias de Porquês:
a. Os porquês cronológicos: são aqueles explicações cuja ligitimidade não poderia ser caracterizada como uma necessidade de natureza lógica.
*por que uma circunferência possui 360º?
*por que há 60 segundos em um minuto?
*por que o zero se chama zero ou o seno se chama seno?
b. Os proquês lógicos d
seriam aquelas explicações cuja aceitação se basearia na decorrência lógica de proposições previamente aceitas ou no desejo de compatibilixsç~so lógica de duas ou mais afirmações não necessariamente compativeis.
*por que o produto dos números negativos é um número positivo?
*por que a raiz quadrada de 2 é igual a dois elevado ao expoente meio?
c. Por que pedagógicos seriam aqueles procedimentos operacionais que geralmente utilizamos em aula e que se justificam mais por razões de ordem pedagógtica do que históricas ou lógica.
*por que você ensina extrair o maior divisor comum entre dois números pelo método das subtrações sucessivas e não pelo da decomposição simultânea ou outro qualquer?
Keiji Nakamura - Professor de Prática de Ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira.
a. Os porquês cronológicos: são aqueles explicações cuja ligitimidade não poderia ser caracterizada como uma necessidade de natureza lógica.
*por que uma circunferência possui 360º?
*por que há 60 segundos em um minuto?
*por que o zero se chama zero ou o seno se chama seno?
b. Os proquês lógicos d
seriam aquelas explicações cuja aceitação se basearia na decorrência lógica de proposições previamente aceitas ou no desejo de compatibilixsç~so lógica de duas ou mais afirmações não necessariamente compativeis.
*por que o produto dos números negativos é um número positivo?
*por que a raiz quadrada de 2 é igual a dois elevado ao expoente meio?
c. Por que pedagógicos seriam aqueles procedimentos operacionais que geralmente utilizamos em aula e que se justificam mais por razões de ordem pedagógtica do que históricas ou lógica.
*por que você ensina extrair o maior divisor comum entre dois números pelo método das subtrações sucessivas e não pelo da decomposição simultânea ou outro qualquer?
Keiji Nakamura - Professor de Prática de Ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira.
domingo, 29 de maio de 2011
LIMITES
Afinal para serve os limites?
1. Limite serve para melhor representar a construção do gráfico de uma função e sua monoticidade, limitada ou não, etc
2. Limite serve também para a construção e na leitura do número: como exemplo e=2,72(aproximadamente), fi=1,618 aproximadamente, 0,999...= 1, etc;
3. Limite também serve para conceituar a probabilidade e a curva de Gauss da Estatística.
4. Limite serve também para diferenciar entre o valor numérico com vizinhança ou entorno.
5. Limite serve também para classificar as seqüências de convergente ou divergente alem disso a teoria de CAOS.
6. Limite serve para conceituar (definição de) a DERIVADA e da INTEGRAL.
etc
7. A descrição, procedimentos e análise gráfica.
Keiji Nakamura professor de Prática de Ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira.
1. Limite serve para melhor representar a construção do gráfico de uma função e sua monoticidade, limitada ou não, etc
2. Limite serve também para a construção e na leitura do número: como exemplo e=2,72(aproximadamente), fi=1,618 aproximadamente, 0,999...= 1, etc;
3. Limite também serve para conceituar a probabilidade e a curva de Gauss da Estatística.
4. Limite serve também para diferenciar entre o valor numérico com vizinhança ou entorno.
5. Limite serve também para classificar as seqüências de convergente ou divergente alem disso a teoria de CAOS.
6. Limite serve para conceituar (definição de) a DERIVADA e da INTEGRAL.
etc
7. A descrição, procedimentos e análise gráfica.
Keiji Nakamura professor de Prática de Ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira.
GIUSEPPE PEANO
O matemático italiano (a858-1932) também deixou contribuições à noção de número, que a nosso ver, podem ter influenciado na elaboração final do conceito de função. Peano fez uma escolha feliz para vários símbolos matemáticos que utilizamos ainda hoje, como exemplo: pertence, união, intersecção, está contido etc. Porém, sua maior contribuição talvez esteja nos três conceitos primitivos que estabeleceu em seus fundamentos de aritmética: O ZERO, OS CONCEITO DE NÚMERO INTEIRO NÃO-NEGATIVO e a relação de ser sucessor de, os quais, junto com seus cinco postulados, forneceram uma construção rigorosa do conjunto dos números naturais.
Keiji Nakamura - professor de Prática de Ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira.
Keiji Nakamura - professor de Prática de Ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira.
OS PARADOXOS NA CONSTRUÇÃO DA MATEMÁTICA
Um paradoxo é uma afirmação que não nos parece contraditório em si mesma, mas que contraria fatos ou presupostos tidos como verdadeiros. Em ciência, quando se enuncia um paradoxo tem-se que algo não está sendo compreendido ou suficientemente explicado pelos conhecimentos já existentes. A ciência, em especial a Matemática, se alimenta substantcialmente todas as vezes que um paradoxo é comunicado. Isso se dá, porque logo em seguida à provisória crise que se instala, segue-se uma incessante busca de explicação, gerando assim novos conceitos e propriedades importantes que vão enriquecendo a ciência. Nesse processo, pode-se também observar, a evolução do senso comum para o que podemos chamar de senso científico. Para explicar e compreender melhor o exposto acima vamos falar sobre três paradoxos, acontecidos em momentos diferentes, que ficaram marcados fortemente na história da Matemática. Esse paradoxos sao atribuídos respectivamente a:
a. Paradoxo de Zenão;A corrida de Aquiles e a tartaruga.
b. Paradoxo de Bolzano ou de Cantor;Um conjunto pode ter o mesmo número de elementos que um seu subconjunto próprio?
c. Paradoxo de Russel. Existe o conjunto de todos os conjuntos? Um conjunto é sempre determinado por uma propriedade?
a. Paradoxo de Zenão;A corrida de Aquiles e a tartaruga.
b. Paradoxo de Bolzano ou de Cantor;Um conjunto pode ter o mesmo número de elementos que um seu subconjunto próprio?
c. Paradoxo de Russel. Existe o conjunto de todos os conjuntos? Um conjunto é sempre determinado por uma propriedade?
QUADRATURA DO CÍRCULO
A quadratura do círculo significa construir um quadrado cuja área seja igual à de um círculo dado ou, de modo equvalente, construir um círculo de área igual à de um quadrado dado. Essa construção consiste em usar somente apenas uma régua não graduada e um compasso. Isso equivale a construir o lado de um quadrado de medida x, com x^2=(pi).r^2. Em particular, fazendo r=1 teríamos x^2=pi. Com a hipótese possível de construir um segmento de medida x= Raiz Quadrada de pi, seria possível construir o segmento de medida pi. Mas pi é um número transcendente. Portanto, é impossível essa construção exata ela será sempre solução inexata ou aproximada.
Em 1844, Liouville demonstrou que existe um número que não é raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais, ou seja, que eixste um número transcendente sobre Q. Esse número é chamado de número Louville. Em 1992 Lindemann provou que pi é transcendente.
Keiji Nakamura - Professor de Prática de ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira. 19/05/2011
Em 1844, Liouville demonstrou que existe um número que não é raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais, ou seja, que eixste um número transcendente sobre Q. Esse número é chamado de número Louville. Em 1992 Lindemann provou que pi é transcendente.
Keiji Nakamura - Professor de Prática de ensino das Faculdades Integradas do Vale do Ribeira. 19/05/2011
FANTASIA MATEMÁTICA
O Grande Hotal Georg Cantor tinha uma infinidade de quartos numerados consecutivamente, um ara cada número natural. Todos eram igualmente confortáveis. Num fin-de-semana prolongado, o hotel estava com seus quartos todos ocupados, quando chega um viajante. A recepcionista vai logo dizendo:
-Sinto muito, mas não há vagas.
Ouvindo isto, Georg Cantor interveio:
-Podemos abrigar o cavalheiro, sim senhora.
E ordena:
-Transfira o hóspede do quarto 0 para o quarto 1, passe o do quarto 1 para o quarto dois e assim por diante. Quem estive no quarto n-1, muda para o quarto n. Isto manterá todos alojados e deixará disponível o quarto 0 para o recém-chegado.
Logo depois chegou um ônibus com 30 passageiros, todos querendo hospedagem. A recepcionista, tendo aprendido a lição, removeu o hóspede de cada quarto n para o quarto n+30 e acolheu assim todos os passageiros do ônibus. Mas ficou sem saber o que fazer quando, horas depois, chegou um três com uma infinidade de passageiros. Desesperada, apelou para o Cantor que prontamente resolveu o problema dizendo: - Passe cada hóspede do quarto n para o quarto 2n. Isto deixará vagos os apartamentos de número ímpar, nos quais poremos os novos hóspedes. - Pensando melhor, mude quem está no quarto n para o quarto 3n. Os novos hóspedes, ponha-os os quartos de número 3n+2. Deixaremos vagos os quartos de números 3n+1. Assim sobrarão ainda infinitos quartos vazios e eu poderei ter sossego por algum tempo.
Keiji Nakamura - Professor de Prática de Ensino FIVR.
-Sinto muito, mas não há vagas.
Ouvindo isto, Georg Cantor interveio:
-Podemos abrigar o cavalheiro, sim senhora.
E ordena:
-Transfira o hóspede do quarto 0 para o quarto 1, passe o do quarto 1 para o quarto dois e assim por diante. Quem estive no quarto n-1, muda para o quarto n. Isto manterá todos alojados e deixará disponível o quarto 0 para o recém-chegado.
Logo depois chegou um ônibus com 30 passageiros, todos querendo hospedagem. A recepcionista, tendo aprendido a lição, removeu o hóspede de cada quarto n para o quarto n+30 e acolheu assim todos os passageiros do ônibus. Mas ficou sem saber o que fazer quando, horas depois, chegou um três com uma infinidade de passageiros. Desesperada, apelou para o Cantor que prontamente resolveu o problema dizendo: - Passe cada hóspede do quarto n para o quarto 2n. Isto deixará vagos os apartamentos de número ímpar, nos quais poremos os novos hóspedes. - Pensando melhor, mude quem está no quarto n para o quarto 3n. Os novos hóspedes, ponha-os os quartos de número 3n+2. Deixaremos vagos os quartos de números 3n+1. Assim sobrarão ainda infinitos quartos vazios e eu poderei ter sossego por algum tempo.
Keiji Nakamura - Professor de Prática de Ensino FIVR.
O INFINITO E ALÉM DAS OUTRAS COISAS BELAS, APESAR DE PATOLÓGICA
Foi onde o grande matemático Georg Cantor , passou toda a sua vida adulta e ponde se tornou na primeira pessoa a entender realmente o significado do infinito e dar-lhe precisão matemática.
Georg Cantor é um de meus heróis, top 10, que faz parte da minha dissertação de mestrado, Isto porque, antes de Cantor nunca ninguém tinha realmente entendido o INFINITO, era um conceito complexo e traiçoeiro que parecia não levar a lado nenhum. Mas Cantor mostrou que o infinito podia ser perfeitamente compreensível, na verdade, não existia apenas um infinito, mas sim um número infinito de infinitos.
Primeiro Cantor pegou nos números 1, 2, 3, 4 e por aí fora. Depois pensou em compará-los com um conjunto muito menor, algo como, 10, 20, 30, 40,... O que ele mostrou foi que estes dois conjuntos infinitos de número têm realmente o mesmo tamanho, porque podemos emparelhá-los,
O com o 10,
0 2 com o 20,
O 3 com o 30,
E por aí fora... Ou seja, são infinitos do mesmo tamanho. Então, e as frações? Afinal de contas, há número infinito de frações ente qualquer um dos números inteiros. Então, certamente que o infinito das frações é muito maior do que o infinito dos números inteiros. Mas o que Cantor fez foi encontrar uma forma de emparelhar todos os números inteiros com um conjunto infinito de frações, e tê-lo da seguinte maneira. Começou por ordenar todas as frações numa grelha infinita. A primeira linha continha os números inteiros, as frações com o um como denominador, na segunda linha, surgiram as metades, frações com o dois como denominador e por aí fora. Cada fração aparece nesta matriz. Onde está o 2/3? Na segunda coluna, terceira linha. Agora imagine uma linha a ser pentear diagonalmente para trás e para frente, através das frações, ao distendermos esta linha podemos emparelhar todas as frações com um dos números inteiros, isto significa que as frações são do mesmo tipo de infinito, que dos números inteiros. Então, talvez todos os infinitos tenham o mesmo tamanho bem, é aqui que está a parte interessante, quando Cantor abordou todos os números decimais. E provou que eles têm um infinito maior, porque por muito que tentemos listas, todos os decimais infinitas, Cantor desenvolveu um argumento inteligente para nos, mostrar como construir um novo número decimal que faltava na nossa lista. Subitamente, a idéia de infinito torna-se evidente, existem infinitos diferentes, alguns maiores do que outros. É um momento realmente excitante, para mim, é como quando os primeiros humanos aprenderam a contar. Mas agora contamos de outra maneira, contamos infinitos. Abriu-se uma Porta que nos mostrou uma matemática inteiramente nova, mas isso não foi de grande ajuda do Georg Cantor.
Ele sofria de depressão “desordem Bipolar” uma das suas primeiras grandes crises foi em 1884. Mas por volta do virar do século, estas recaídas de sua doença mental tornam-se cada vez mais freqüentes. Muitas pessoas tentaram dizer a sua doença foi de certa forma desencadeada pela matemática incrivelmente abstrata com que lidava. Bem, não há dúvidas que tinha dificuldades... Devo dizer-lhe que quando começamos a contemplar o infinito, bem sinto que satisfeito com a base do infinito, mas conforme vai crescendo, tenho de lhe dizer, que começo a ficar desalentado pelo que está a acontecer e para onde vai. Durante grande parte da vida de Cantor, o único sítio para onde ia era este, o sanatório da universidade. Na altura não existia tratamento para a depressão desordem bipolar, nem para a paranóia que acompanhava freqüentemente os ataques de Cantor, ainda assim, a clínica era um bom sítio para se estar confortável, serena e pacífica, e,m muitas vezes, Cantor achava que o tempo que ia passando lhe fornecia a força mental para continuar a sua exploração do infinito. Outros matemáticos ficaram perturbados pelos paradoxos que o trabalho de Cantor criara, mas curiosamente, isto era algo que não preocupava Cantor. Ele nunca se angustiava com os paradoxos do infinito como as outras pessoas, porque Cantor acreditava que estar bem, existem certas coisas que conseguiu demonstrar. A matemática completa existe apenas em Deus. Ele conseguia entender tudo isto, e havia ainda o paradoxo final que não nos cabia a nos entender, mas apenas com Deus. Mas existia um problema que Cantor não conseguia deixar nas mãos do todo poderoso, um problema com o qual se debateu durante o resto de sua vida. Ficou conhecido como “Hipótese do contínuo”. Haverá algum infinito entre o infinito pequeno dos números inteiros e o infinito maior dos números decimais? Mas houve um matemática francês que o defendeu argumentando que a nova matemática do infinito de Cantor era bela, apesar de patológica.
Georg Cantor é um de meus heróis, top 10, que faz parte da minha dissertação de mestrado, Isto porque, antes de Cantor nunca ninguém tinha realmente entendido o INFINITO, era um conceito complexo e traiçoeiro que parecia não levar a lado nenhum. Mas Cantor mostrou que o infinito podia ser perfeitamente compreensível, na verdade, não existia apenas um infinito, mas sim um número infinito de infinitos.
Primeiro Cantor pegou nos números 1, 2, 3, 4 e por aí fora. Depois pensou em compará-los com um conjunto muito menor, algo como, 10, 20, 30, 40,... O que ele mostrou foi que estes dois conjuntos infinitos de número têm realmente o mesmo tamanho, porque podemos emparelhá-los,
O com o 10,
0 2 com o 20,
O 3 com o 30,
E por aí fora... Ou seja, são infinitos do mesmo tamanho. Então, e as frações? Afinal de contas, há número infinito de frações ente qualquer um dos números inteiros. Então, certamente que o infinito das frações é muito maior do que o infinito dos números inteiros. Mas o que Cantor fez foi encontrar uma forma de emparelhar todos os números inteiros com um conjunto infinito de frações, e tê-lo da seguinte maneira. Começou por ordenar todas as frações numa grelha infinita. A primeira linha continha os números inteiros, as frações com o um como denominador, na segunda linha, surgiram as metades, frações com o dois como denominador e por aí fora. Cada fração aparece nesta matriz. Onde está o 2/3? Na segunda coluna, terceira linha. Agora imagine uma linha a ser pentear diagonalmente para trás e para frente, através das frações, ao distendermos esta linha podemos emparelhar todas as frações com um dos números inteiros, isto significa que as frações são do mesmo tipo de infinito, que dos números inteiros. Então, talvez todos os infinitos tenham o mesmo tamanho bem, é aqui que está a parte interessante, quando Cantor abordou todos os números decimais. E provou que eles têm um infinito maior, porque por muito que tentemos listas, todos os decimais infinitas, Cantor desenvolveu um argumento inteligente para nos, mostrar como construir um novo número decimal que faltava na nossa lista. Subitamente, a idéia de infinito torna-se evidente, existem infinitos diferentes, alguns maiores do que outros. É um momento realmente excitante, para mim, é como quando os primeiros humanos aprenderam a contar. Mas agora contamos de outra maneira, contamos infinitos. Abriu-se uma Porta que nos mostrou uma matemática inteiramente nova, mas isso não foi de grande ajuda do Georg Cantor.
Ele sofria de depressão “desordem Bipolar” uma das suas primeiras grandes crises foi em 1884. Mas por volta do virar do século, estas recaídas de sua doença mental tornam-se cada vez mais freqüentes. Muitas pessoas tentaram dizer a sua doença foi de certa forma desencadeada pela matemática incrivelmente abstrata com que lidava. Bem, não há dúvidas que tinha dificuldades... Devo dizer-lhe que quando começamos a contemplar o infinito, bem sinto que satisfeito com a base do infinito, mas conforme vai crescendo, tenho de lhe dizer, que começo a ficar desalentado pelo que está a acontecer e para onde vai. Durante grande parte da vida de Cantor, o único sítio para onde ia era este, o sanatório da universidade. Na altura não existia tratamento para a depressão desordem bipolar, nem para a paranóia que acompanhava freqüentemente os ataques de Cantor, ainda assim, a clínica era um bom sítio para se estar confortável, serena e pacífica, e,m muitas vezes, Cantor achava que o tempo que ia passando lhe fornecia a força mental para continuar a sua exploração do infinito. Outros matemáticos ficaram perturbados pelos paradoxos que o trabalho de Cantor criara, mas curiosamente, isto era algo que não preocupava Cantor. Ele nunca se angustiava com os paradoxos do infinito como as outras pessoas, porque Cantor acreditava que estar bem, existem certas coisas que conseguiu demonstrar. A matemática completa existe apenas em Deus. Ele conseguia entender tudo isto, e havia ainda o paradoxo final que não nos cabia a nos entender, mas apenas com Deus. Mas existia um problema que Cantor não conseguia deixar nas mãos do todo poderoso, um problema com o qual se debateu durante o resto de sua vida. Ficou conhecido como “Hipótese do contínuo”. Haverá algum infinito entre o infinito pequeno dos números inteiros e o infinito maior dos números decimais? Mas houve um matemática francês que o defendeu argumentando que a nova matemática do infinito de Cantor era bela, apesar de patológica.
Duplicação do Cubo
DUPLICAÇÃO DO CUBO
A duplicação do cubo não existe possibilidade de construir com régua e compasso. Por que:
I. Um número real diz-se algébrico, se ele é raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais. Caso contrário, dizemos que o número é transcendente.
II. Um número real diz-se algébrico de grau n se ele for raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais de grau n e não for raiz de nenhuma equação polinomial de coeficientes racionais de grau menor que n.
Agora, vamos mostrar que é algébrico de grau 3 sobre números racionais Q.
é algébrico, porque é raiz da equação polinomial: .
Se fosse raiz da equação ax+b=0 com coeficie3ntes racionais, teríamos a( ) _ b=0, onde .
Absurdo, pois o segundo membro é racional. Se fosse raiz da equação do segundo grau (1). Elevando ao quadrado os membros da igualdade:
( , obtém-se a (2). Multiplicando (1) por quadrado de b e (2) por menos a [-a] e adicionando membro a membro, chegamos a:
, um absurdo já que é irracional (observe que , pois caso contrário teríamos .absurdo, pois a e b são racionais). Portanto, é algébrico de grau 3 sobre Q.
O problema da duplicação do cubo consiste em construir a aresta de um cubo de volume igual ao dobro do volume de um cubo de aresta dada, utilizando apenas uma régua não graduada e um compasso. O problema pode ser colocado nos seguintes termos: dado um segmento de medida a, construir um segmento de medida x tal que . Vamos supor que seja possível construir com régua não graduada e compasso um segmento com medida x tal que . Em particular fazendo a=1 unidade teríamos a equação que cuja raiz é , que mostramos ser algébrico de grau 3 ( que não é potência de 2) e, portanto, o segmento de medida não pode ser construído. Logo, o problema da duplicação do cubo é impossível.
A duplicação do cubo não existe possibilidade de construir com régua e compasso. Por que:
I. Um número real diz-se algébrico, se ele é raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais. Caso contrário, dizemos que o número é transcendente.
II. Um número real diz-se algébrico de grau n se ele for raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais de grau n e não for raiz de nenhuma equação polinomial de coeficientes racionais de grau menor que n.
Agora, vamos mostrar que é algébrico de grau 3 sobre números racionais Q.
é algébrico, porque é raiz da equação polinomial: .
Se fosse raiz da equação ax+b=0 com coeficie3ntes racionais, teríamos a( ) _ b=0, onde .
Absurdo, pois o segundo membro é racional. Se fosse raiz da equação do segundo grau (1). Elevando ao quadrado os membros da igualdade:
( , obtém-se a (2). Multiplicando (1) por quadrado de b e (2) por menos a [-a] e adicionando membro a membro, chegamos a:
, um absurdo já que é irracional (observe que , pois caso contrário teríamos .absurdo, pois a e b são racionais). Portanto, é algébrico de grau 3 sobre Q.
O problema da duplicação do cubo consiste em construir a aresta de um cubo de volume igual ao dobro do volume de um cubo de aresta dada, utilizando apenas uma régua não graduada e um compasso. O problema pode ser colocado nos seguintes termos: dado um segmento de medida a, construir um segmento de medida x tal que . Vamos supor que seja possível construir com régua não graduada e compasso um segmento com medida x tal que . Em particular fazendo a=1 unidade teríamos a equação que cuja raiz é , que mostramos ser algébrico de grau 3 ( que não é potência de 2) e, portanto, o segmento de medida não pode ser construído. Logo, o problema da duplicação do cubo é impossível.
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