DUPLICAÇÃO DO CUBO
A duplicação do cubo não existe possibilidade de construir com régua e compasso. Por que:
I. Um número real diz-se algébrico, se ele é raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais. Caso contrário, dizemos que o número é transcendente.
II. Um número real diz-se algébrico de grau n se ele for raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais de grau n e não for raiz de nenhuma equação polinomial de coeficientes racionais de grau menor que n.
Agora, vamos mostrar que é algébrico de grau 3 sobre números racionais Q.
é algébrico, porque é raiz da equação polinomial: .
Se fosse raiz da equação ax+b=0 com coeficie3ntes racionais, teríamos a( ) _ b=0, onde .
Absurdo, pois o segundo membro é racional. Se fosse raiz da equação do segundo grau (1). Elevando ao quadrado os membros da igualdade:
( , obtém-se a (2). Multiplicando (1) por quadrado de b e (2) por menos a [-a] e adicionando membro a membro, chegamos a:
, um absurdo já que é irracional (observe que , pois caso contrário teríamos .absurdo, pois a e b são racionais). Portanto, é algébrico de grau 3 sobre Q.
O problema da duplicação do cubo consiste em construir a aresta de um cubo de volume igual ao dobro do volume de um cubo de aresta dada, utilizando apenas uma régua não graduada e um compasso. O problema pode ser colocado nos seguintes termos: dado um segmento de medida a, construir um segmento de medida x tal que . Vamos supor que seja possível construir com régua não graduada e compasso um segmento com medida x tal que . Em particular fazendo a=1 unidade teríamos a equação que cuja raiz é , que mostramos ser algébrico de grau 3 ( que não é potência de 2) e, portanto, o segmento de medida não pode ser construído. Logo, o problema da duplicação do cubo é impossível.
Duplicação do Cubo é dos três problemas famosos de construção.
ResponderExcluirDuplicar o cubo significa construir um cubo de volume igual ao dobro do volume de um cubo dado. Apesar de o cubo ser uma figura da geometria espacial, o problema é, realmente, de geometria plana, pois, se tormarmos como unidade de comprimento a aresta do cubo dado, o problema se reduz à construção de um segmento de comprimento da raiz cúbica de dois, porque este seria o comprimento da aresta de um cubo cujo volume fosse o dobro do volume do cubo dado.
Keiji Nakamura, professor de Prática de ensino das Faculdades Integradas do Vale do ribeira.