"Uma descoberta sensacional de Arquimedes como material didático para o ensino e aprendizagem do cálculo integral"

TEMA:  “ UMA  DESCOBERTA SENSACIONAL DE ARQUIMEDES COMO MATERIAL DIDÁTICO PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DO CÁLCULO INTEGRAL”

KEIJI NAKAMURA: PROFESSOR DAS FACULDADES INTEGRADAS DO VALE DO RIBEIRA

RESUMO DA PALESTRA:

Conhecimentos básicos:

1.     

2.      Teorema de Pitágoras: Quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

3.      Relação métrica: Quadrado do cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto.

4.      Sólidos de revolução: movimento de rotação.

5.      O volume de um cilindro circular é igual ao produto da altura pela área da base.

6.      O volume de um cone circular é um terço do produto pela área da base.

Figura (01).

DADOS: AB=EB=BF=2r

XT=x; XR=y; AX=x

 =  à y=x

Do triângulo AXR percebo que (AX)² + (XR)²=(AR)²à x²+y²=(AR)²

Do triângulo retângulo  ARB (o ângulo R é reto): (AR)²=x.(AB)=x.2r

Logo posso escrever que: x²+y²=x.(2r)   (1)

Giramos (rotação) a figura EFGH em torno do eixo AB:

Giramos a toda figura em torno de AB. O círculo gera assim uma esfera de raio r,  o triângulo EAF gera um cone cuja base é um círculo de raio BE=2r e o retângulo EFGH gera um círculo cuja base tem raio BE=2r e cuja altura é AB=2r. Durante a rotação, a reta arbitrária  PQ gera um plano  que intersecta o cilindro segundo um círculo de raio 2r, o cone segundo um círculo C1 de raio x, e a esfera segundo um círculo C2 de raio  y.

Dividindo ambos os termos de (1) por (2r)² obtemos:

Necessitamos da Lei das alavancas para provar que estão equilíbrio:

A introdução do  na relação dada da lei das alavancas , que também  vale a igualdade:

Cortando perpendicularmente ao eixo AB, os três sólidos (o cilindro, o cone e a esfera) em fatias bastante finas ( ). As fatias, análogas a três rodelas de salame de diâmetros diferentes, têm os seguintes volumes aproximados, proporcionais a seus pesos.

“fatia” do cone AEF: (TX)²(dx)= x²dx.

“fatia” da esfera  ADCR: (AO)²dx= r²dx.

“fatia” do cilindro EFGH= (BE)²dx= (2r)²dx.

Suponhamos, agora, se juntarmos todas as fatias do cone, das fatias da esfera e das fatias do cilindro e pela lei das alavancas mantém seu equilíbrio das figuras espaciais.

Executamos agora a última fase do raciocínio. Quando x cresce de 0 a 2r, as três seções transversais varrem seus respectivos sólidos e preenchem esses sólidos. Como as três seções transversais estão em equilíbrio nesse processo, os próprios sólidos estão também em equilíbrio

2(esfera+cone)= 1.cilindro

Como o cilindro é três vezes o cone, obtemos:

2.cone + 2 esfera = 3 cone à 2xvolume do cone+ 2xvolume  da esfera= 3x volume do cone;

2. esfera= 3.cone – 2.cone-à 2.esfera= 1. Cone(EAF).

2. Esfera= 8.Cone EAD à( : 2) -à Esfera= 4 Cone EAD

Esfera: 4. à Volume da esfera=

Volume da esfera= 4.  à Volume da Esfera=4.Volume do Cone

“Obrigado aluno e aluna, foi muito muito bom conhecer você”.

Obrigado Professor e Professora, sou muito grato, aprendi muito com você.

Obrigado coordenador e coordenadora, você iluminou o meu caminho.

Você está no meu coração, uma lembrança que jamais esquecerei para toda a vida

Até mais, KEIJI NAKAMURA

Esta demonstração não possível colocar a ilustração para dar o maior visualização, assim espero colocar em breve.
Keiji