sexta-feira, 5 de dezembro de 2014

"Uma descoberta sensacional de Arquimedes como material didático para o ensino e aprendizagem do cálculo integral"



TEMA:  “ UMA  DESCOBERTA SENSACIONAL DE ARQUIMEDES COMO MATERIAL DIDÁTICO PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DO CÁLCULO INTEGRAL”
KEIJI NAKAMURA: PROFESSOR DAS FACULDADES INTEGRADAS DO VALE DO RIBEIRA
RESUMO DA PALESTRA:
Conhecimentos básicos:
1.     
2.      Teorema de Pitágoras: Quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
3.      Relação métrica: Quadrado do cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto.
4.      Sólidos de revolução: movimento de rotação.
5.      O volume de um cilindro circular é igual ao produto da altura pela área da base.
6.      O volume de um cone circular é um terço do produto pela área da base.
Figura (01).
DADOS: AB=EB=BF=2r
XT=x; XR=y; AX=x
 =  à y=x
Do triângulo AXR percebo que (AX)2 + (XR)2=(AR)2à x2+y2=(AR)2
Do triângulo retângulo  ARB (o ângulo R é reto): (AR)2=x.(AB)=x.2r
Logo posso escrever que: x2+y2=x.(2r)   (1)
Giramos (rotação) a figura EFGH em torno do eixo AB:
Giramos a toda figura em torno de AB. O círculo gera assim uma esfera de raio r,  o triângulo EAF gera um cone cuja base é um círculo de raio BE=2r e o retângulo EFGH gera um círculo cuja base tem raio BE=2r e cuja altura é AB=2r. Durante a rotação, a reta arbitrária  PQ gera um plano  que intersecta o cilindro segundo um círculo de raio 2r, o cone segundo um círculo C1 de raio x, e a esfera segundo um círculo C2 de raio  y.
Dividindo ambos os termos de (1) por (2r)2 obtemos:
Necessitamos da Lei das alavancas para provar que estão equilíbrio:
A introdução do  na relação dada da lei das alavancas , que também  vale a igualdade:

Cortando perpendicularmente ao eixo AB, os três sólidos (o cilindro, o cone e a esfera) em fatias bastante finas ( ). As fatias, análogas a três rodelas de salame de diâmetros diferentes, têm os seguintes volumes aproximados, proporcionais a seus pesos.
“fatia” do cone AEF: (TX)2(dx)= x2dx.
“fatia” da esfera  ADCR: (AO)2dx= r2dx.
“fatia” do cilindro EFGH= (BE)2dx= (2r)2dx.
Suponhamos, agora, se juntarmos todas as fatias do cone, das fatias da esfera e das fatias do cilindro e pela lei das alavancas mantém seu equilíbrio das figuras espaciais.
Executamos agora a última fase do raciocínio. Quando x cresce de 0 a 2r, as três seções transversais varrem seus respectivos sólidos e preenchem esses sólidos. Como as três seções transversais estão em equilíbrio nesse processo, os próprios sólidos estão também em equilíbrio
2(esfera+cone)= 1.cilindro
Como o cilindro é três vezes o cone, obtemos:
2.cone + 2 esfera = 3 cone à 2xvolume do cone+ 2xvolume  da esfera= 3x volume do cone;
2. esfera= 3.cone – 2.cone-à 2.esfera= 1. Cone(EAF).
2. Esfera= 8.Cone EAD à( : 2) -à Esfera= 4 Cone EAD
Esfera: 4. à Volume da esfera=
Volume da esfera= 4.  à Volume da Esfera=4.Volume do Cone

“Obrigado aluno e aluna, foi muito muito bom conhecer você”.
Obrigado Professor e Professora, sou muito grato, aprendi muito com você.
Obrigado coordenador e coordenadora, você iluminou o meu caminho.
Você está no meu coração, uma lembrança que jamais esquecerei para toda a vida

Até mais, KEIJI NAKAMURA

Esta demonstração não possível colocar a ilustração para dar o maior visualização, assim espero colocar em breve.
Keiji











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