Física I - Aula 9 - Forças

"Uma descoberta sensacional de Arquimedes como material didático para o ensino e aprendizagem do cálculo integral"

TEMA:  “ UMA  DESCOBERTA SENSACIONAL DE ARQUIMEDES COMO MATERIAL DIDÁTICO PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DO CÁLCULO INTEGRAL”

KEIJI NAKAMURA: PROFESSOR DAS FACULDADES INTEGRADAS DO VALE DO RIBEIRA

RESUMO DA PALESTRA:

Conhecimentos básicos:

1.     

2.      Teorema de Pitágoras: Quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

3.      Relação métrica: Quadrado do cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto.

4.      Sólidos de revolução: movimento de rotação.

5.      O volume de um cilindro circular é igual ao produto da altura pela área da base.

6.      O volume de um cone circular é um terço do produto pela área da base.

Figura (01).

DADOS: AB=EB=BF=2r

XT=x; XR=y; AX=x

 =  à y=x

Do triângulo AXR percebo que (AX)² + (XR)²=(AR)²à x²+y²=(AR)²

Do triângulo retângulo  ARB (o ângulo R é reto): (AR)²=x.(AB)=x.2r

Logo posso escrever que: x²+y²=x.(2r)   (1)

Giramos (rotação) a figura EFGH em torno do eixo AB:

Giramos a toda figura em torno de AB. O círculo gera assim uma esfera de raio r,  o triângulo EAF gera um cone cuja base é um círculo de raio BE=2r e o retângulo EFGH gera um círculo cuja base tem raio BE=2r e cuja altura é AB=2r. Durante a rotação, a reta arbitrária  PQ gera um plano  que intersecta o cilindro segundo um círculo de raio 2r, o cone segundo um círculo C1 de raio x, e a esfera segundo um círculo C2 de raio  y.

Dividindo ambos os termos de (1) por (2r)² obtemos:

Necessitamos da Lei das alavancas para provar que estão equilíbrio:

A introdução do  na relação dada da lei das alavancas , que também  vale a igualdade:

Cortando perpendicularmente ao eixo AB, os três sólidos (o cilindro, o cone e a esfera) em fatias bastante finas ( ). As fatias, análogas a três rodelas de salame de diâmetros diferentes, têm os seguintes volumes aproximados, proporcionais a seus pesos.

“fatia” do cone AEF: (TX)²(dx)= x²dx.

“fatia” da esfera  ADCR: (AO)²dx= r²dx.

“fatia” do cilindro EFGH= (BE)²dx= (2r)²dx.

Suponhamos, agora, se juntarmos todas as fatias do cone, das fatias da esfera e das fatias do cilindro e pela lei das alavancas mantém seu equilíbrio das figuras espaciais.

Executamos agora a última fase do raciocínio. Quando x cresce de 0 a 2r, as três seções transversais varrem seus respectivos sólidos e preenchem esses sólidos. Como as três seções transversais estão em equilíbrio nesse processo, os próprios sólidos estão também em equilíbrio

2(esfera+cone)= 1.cilindro

Como o cilindro é três vezes o cone, obtemos:

2.cone + 2 esfera = 3 cone à 2xvolume do cone+ 2xvolume  da esfera= 3x volume do cone;

2. esfera= 3.cone – 2.cone-à 2.esfera= 1. Cone(EAF).

2. Esfera= 8.Cone EAD à( : 2) -à Esfera= 4 Cone EAD

Esfera: 4. à Volume da esfera=

Volume da esfera= 4.  à Volume da Esfera=4.Volume do Cone

“Obrigado aluno e aluna, foi muito muito bom conhecer você”.

Obrigado Professor e Professora, sou muito grato, aprendi muito com você.

Obrigado coordenador e coordenadora, você iluminou o meu caminho.

Você está no meu coração, uma lembrança que jamais esquecerei para toda a vida

Até mais, KEIJI NAKAMURA

Esta demonstração não possível colocar a ilustração para dar o maior visualização, assim espero colocar em breve.
Keiji

Prova de Matemática PEBII da SEESP pela Fundação Getúlio Vargas/2013

Questão 4. Considere a expressão E=W^X+Y-Z, onde os valores de w, y e z são 1, 2, 3 e 4, não necessariamente nesta ordem. Entre os valores possíveis  de E, os menor e o maior são, respectivamente:

(A)   -2 e 89

(B)   -1 e 81

(C)   -1 e  82

(D)    0 e 65

(E)    0 e 82

A potência w^X, para dar o maior valor de E, são necessários a base e expoente maiores possíveis e Z o menor possível. Portanto, w e X sejam 3 e 4, enquanto z= 1.

Z=3⁴+2-1=81+2-1=82.

Para dar o menor possível, W^x, a base e expoente deverão ser,  como 1 e 3, enquanto z, o maior possível,  neste caso z=4

Z= 1³+2-4=1+2-4=-1.

Alternativa C(x) Z=82 e Z=-1.

Questão 05. Seja f uma função real do 1º. Grau tal que f(7)-f(3)=6

O valor de f(15)-f(9) é:

(A)   7

(B)   9

(C)   10

(D)   12

(E)    13

Função  do 1º. Grau f(x)=ax+b

F(7)=a.7+b

F(3)=a.3+b

F(7)-f(3)=a.7+b –(a.3+b)=a.7+b-a.3-b=6

4a=6.: a=6/4=3/2

F(15)=a.15+b

F(9)=a.9+b

F(15)-f(9)=a.15+b-(a.9+b)=a.15+b-a.9-b=6a=6(3/2)=9

Alternativa B(X).:  f(15)-f(9)=9

Prova doPROFMAT - IMPA/2014

MATEMÁTICA PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA-Prova do POFMAT/2014
Professor de matemática:  Keiji Nakamura da FVR (SP)
Questão 28. Quantas palavras podemos  escrever com as seis letras a, b, c, d, e, f, sem repetir letras, de modo que as letras a, b, c sempre apareçam na ordem alfabética?
(A)120     (B) 240    (C)720      (D) 715     (E)360
Solução: 
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
    ABC- Se somente um (ABC) está na ordem alfabética e o restante não, isto é, um em seis (1/6).
ABCDEF : em qualquer ordem vale: P6=6!= 6.5.4.3.2.1=720. Dessas  apenas (1/6) de 720 estão em ordem (ABC) alfabética. Portanto: 720/6=120.
Resposta dessa questão 28 é (A) 120.    Observe que, para entender melhor a questão:  F  A D   B  E     C

Correçao da Prova de SEESP Matemática da FGV 2013

CONCURSO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA  FGV/ PROJETOS – SEESP-2013

PROFESSOR de Matemática: KEIJI NAKAMURA (FVR, Registro)

Questão 01. Considere os números a seguir: a=112¹¹²; b=112¹¹³; c=113.112¹¹²; d=2x112¹¹³; e=112¹¹⁴; f=113.112¹¹³. Entre as diferentes apresentadas a seguir, a maior é:

(A) b-a= 112¹¹³-112¹¹²=112¹¹²(112-1)=111.112¹¹²

(B) c-b= 113.112¹¹²-112¹¹³=112¹¹²(113-112)=1.112¹¹²

© d-c= 2.112¹¹³-113.112¹¹²=112¹¹²(2.112-113)=(224-113).112¹¹²=111.112¹¹²

(D) e-d= 112¹¹⁴-2.112¹¹³=112¹¹³(112-2)=110.112¹¹³

(E) f-e= 113.112¹¹³-112¹¹⁴=(112¹¹³)(113-112)=1.112¹¹³

Alternativa (D)=11.112¹¹³

Questão 02. As grandezas G, A, B e C se relacionam da seguinte forma: G é diretamente proporcional a A e a B; G e é inversamente proporcional a C para A=8, B=35 e C=40 tem-se G=15. Então, para A=14; B=36 e C=45. O valor de G será:

(A)   24

(B)   28

(C)   30

(D)   36

(E)    42

Aplicando a regra de três composta:

G	A	B	C
15	8	35	40
X	14	36	45

G é diretamente proporcional a A e a B.

G é inversamente proporcional a C( se G é inversamente proporcional a C, então devemos  inverter 40 por 45).

G	A	B	C
15	8	35	45
x	14	36	40

 simplificando a fração:

Alternativa (A),: x=24